Domino思路

把数字0~6看作节点,每个Domino看作一条边,那么这个问题就转化为一笔画问题,即问题模型是欧拉图。

容易看出,每个Domino的合理排列方案,都对应欧拉图中的一个一笔画路径(欧拉路)。

那么现在目标从找到一个Domino的合理排列方案,转变为找到图的一个欧拉路。

题中最多有7个节点,100条边。如果简单地使用DFS,其最大时间复杂度O(n^2),会超时。这时需要充分应用欧拉图的性质进行优化——

关于一笔画问题有如下关键定理:

一个图形能一笔画完成当且仅当其符合两个条件,即图形是封闭联通的,和图形中的奇点(与奇数条边相连的点)个数为0或2。
及其延伸定理:

给定一个欧拉图,若图形中的奇点个数为2,则欧拉路必定从一个奇点出发,于另一奇点结束;若图形中没有奇点,则任选起点,必定能找到欧拉路,且终点与起点相同。
从上述定理可以看到,给定欧拉图,我们可以非常容易地确定一个起点,从这个起点一定可以找到一条欧拉路。

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